Sudbina u rukama bogova i ljudi

Pitanje koje zaokuplja mislioce dve i po hiljade godina jeste pitanje „sudbine”. Da li je ona posledica „volje bogova” ili su je matematika i verovatnoća učinile „voljom ljudi”?


Knjiga „Nedovršena igra – priča o rađanju verovatnoće” Kita Devlina kratki je pregled istorije nastanka verovatnoće i na njoj baziranog statističkog predviđanja. Priča počinje prepiskom između dva genija 17. veka koji se nisu nikada sreli. Značaj njih dvojice dolazi do izražaja tek pošto se obazremo na shvatanje „sudbine” pre i posle njih.

Antički svet smatrao je da je sudbina ljudi determinisana voljom bogova, kako to Devlin navodi: „Grčka mitologija je bogovima na Olimpu stavila u ruke kockice, čijim su bacanjem određivali sudbinu ljudi.” Pre srednjeg veka niko nije pretpostavljao da je moguće izmeriti izglede da se ostvari neki budući događaj, poput ishoda bacanja kockice. Za pojave koje nisu bile predodređene, smatralo se da su van dometa racionalne analize. Budućnost je stvar koju određuju bogovi, mislili su ljudi; šta će se desiti, desiće se, i ne postoji ništa što bi neko mogao da učini u vezi s tim, osim da se moli i bude veran nekom božanstvu za koje veruje da kontroliše njegovu sudbinu.

U XIV veku kockice su zamenjene kartama, i to prvo u Italiji. Krajem 15. veka, u svojoj knjizi „Sve o aritmetici, geometriji i proporcijama” (Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), Luka Pačoli je prvi put štampao zadatak koji će Paskal i Ferma rešiti dva veka kasnije: problem nedovršene igre (ili problem poena). On pita – kako treba podeliti uloge u slučaju kada se igra od nekoliko partija mora ostaviti nedovršenom?

„Dva igrača stave jednake uloge na pobednika iz pet bacanja fer novčića; započnu igru, ali moraju da je prekinu pre nego što se dobije pobednik. Kako će podeliti ukupan ulog? Ako je svako dobio jedno bacanje u trenutku kada se igra prekine posle dva bacanja, onda očigledno, dele ukupan ulog na jednake delove, a ako prekinu igru posle četiri bacanja kada je svako dobio po dva, urade isto. Ali šta ako se zaustave posle tri bacanja, kada jedan igrač vodi sa dva prema jedan?” Ovo je uprošćen problem, ali logika ostaje ista, u odnosu na problem N bacanja za bilo koji broj N. Ferma i Paskal razmatrali su kocku na kojoj na tri strane piše 0, a na tri strane 1.

Ovaj problem uspešno su rešili Blez Paskal (1623–1662) i Pjer de Ferma (1601–1665). Paskal je otkrio da je zbir uglova trougla jednak zbiru dva prava ugla, a sa šesnaest godina je napisao svoj prvi rad, u kome se bavio konusnim presecima. Takođe, osmislio je mašinu za računanje – paskalinu – koja podseća na mehaničke kalkulatore koji su se prodavali 40-ih i 50-ih godina prošlog veka. Ferma je bio pravnik, advokat, skoro da nije objavio nijedan rad iz matematike. Svoje ideje širio je kroz prepisku sa vodećim matematičarima tog vremena.

Godine 1639, vitez De Mereo je upitao Paskala da mu pomogne u kockanju. Pokušajući da reši problem nedovršene igre, Paskal je sam došao do rešenja, ali je u njega sumnjao i zato je otpočeo prepisku sa Fermaom. Kako je tekla prepiska i do kog rešenja su ova dva mislioca došla, zapisao je Devlin u svojoj knjizi.

Manji deo knjige bavi se daljim razvojem teorije verovatnoće i velikim imenima koja su mu doprinela, poput Jakoba i Danijela Bernulija.

Ono što su Paskal i Ferma doneli matematičkom svetu u XVII veku, a to je revolucionarna promena mišljenja da je budućnost potpuno nepredvidiva, finansijskom svetu doneli su Blek i Šouls, koji su zajedno za Mertonom 1997. godine dobili Nobelovu nagradu za ekonomiju.

Uvreženo mišljenje koje je vladalo finansijskim tržištem je da „ne možete da koristite matematiku da predvidite ponašanje izvedenih finansijskih instrumenata na tržištu”. Njih dvojica su je upravo upotrebili rešavanjem slabo poznatih stohastičkih diferencijalnih jednačina i tako stvorili Blek–Šoulsovu formulu, koja govori investitorima koliko novca da ulože u izvedene finansijske instrumente, poput opcija na berzi.

Sama ideja da biste mogli da koristite matematiku da određujete cenu izvedenim finansijskih instrumentima bila je toliko revolucionarna da su Blek i Šouls na početku imali poteškoća da objave svoj rad. Kada su prvi put pokušali 1970. godine, čikaški Journal of Political Economy i harvardski Review of Economics and Statistics su odbili studiju, čak se i ne potrudivši da je ocene. Rad je objavljen tek 1973. godine, kada su uticajni članovi Univerziteta u Čikagu izvršili pritisak na svoj časopis.

Uloga koju je odigrala Blek–Šoulsova formula (i proširenja koja je napravio Merton) u rastu novog tržišta opcija bila je toliko velika da je, kada je američka berza doživela slom 1978, magazin Forbes krivicu nedvosmisleno svalio samo na tu jednu formulu. Šouls je izjavio da nije formula bila toliko kriva, koliko berzanski trgovci koji nisu bili dovoljno oprezni kada su je koristili.

AUTOR: Nikola Kosanović

Ocenite tekst: